Forma desarrollada de una Función Cuadrática

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

Forma factorizada:

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

        f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \,

siendo a el coeficiente principal de la función, y x_1 y x_2 las raíces de f(x). En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces x_1 = x_2 por lo que la factorización adquiere la forma:

    f(x) = a(x - x_1)^2 \,

En este caso a x_1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.
[editar] Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

    f(x) = a (x - h)^2 + k \,

siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.
[editar] Representación gráfica
[editar] Corte con el eje y


La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

    y = f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \,

lo que resulta:

    y = f(0) = c \,

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen
[editar] Corte con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:

    y = ax^2 + bx + c \,

se tiene que:

    y = 0 \quad \longmapsto \quad ax^2 + bx + c = 0 \,

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

    x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} .

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).
[editar] Extremos

Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.

Dada la función en su forma desarrollada: f(x) = ax^2+bx+c\,, la coordenada x del vértice será simplemente: x = \frac{-b}{2a} . La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto.

Dada la forma canónica: f(x)=a (x-h)^2+k \,, las coordenadas explícitas del vértice son: (h,k).