Gráficas de la Parábola: Función Cuadrática

Clase sobre La Función Cuadrática

Clase sobre La Función Cuadrática:

Forma desarrollada de una Función Cuadrática

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

Forma factorizada:

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

        f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \,

siendo a el coeficiente principal de la función, y x_1 y x_2 las raíces de f(x). En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces x_1 = x_2 por lo que la factorización adquiere la forma:

    f(x) = a(x - x_1)^2 \,

En este caso a x_1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.
[editar] Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

    f(x) = a (x - h)^2 + k \,

siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.
[editar] Representación gráfica
[editar] Corte con el eje y


La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

    y = f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \,

lo que resulta:

    y = f(0) = c \,

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen
[editar] Corte con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:

    y = ax^2 + bx + c \,

se tiene que:

    y = 0 \quad \longmapsto \quad ax^2 + bx + c = 0 \,

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

    x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} .

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).
[editar] Extremos

Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.

Dada la función en su forma desarrollada: f(x) = ax^2+bx+c\,, la coordenada x del vértice será simplemente: x = \frac{-b}{2a} . La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto.

Dada la forma canónica: f(x)=a (x-h)^2+k \,, las coordenadas explícitas del vértice son: (h,k).

Concepto de Función Cuadrática

Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define como:

En donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de  ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario.

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: 

donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

                                                 f(x) = ax2 +bx +c 
donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:

f(x) = x2
f(x) = -x2